Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 20 x + 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 1.2.4

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 1.2.6

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 1.2.7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 (2 x))$

Étape 1.2.9

Multipliez $2$ par $5$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ et $g (x) = - 20 + 10 x$ .

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 20 + 10 x) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 20 + 10 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 20] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} (- 20) + \frac{d}{d x} (10 x)) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Étape 2.2.2

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (10 x)) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Étape 2.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (10 x) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Étape 2.2.4

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (10 \frac{d}{d x} (x)) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (10 \cdot 1) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Étape 2.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $10$ par $1$ .

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \cdot 10 + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Étape 2.2.6.2

Déplacez $10$ à gauche de $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 10 \cdot e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2}))$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (e^{u} \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2}))$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2}))$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 20 x + 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Étape 2.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Étape 2.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Étape 2.4.4

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Étape 2.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Étape 2.4.6

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Étape 2.4.7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 2.4.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 (2 x))$

Étape 2.4.9

Multipliez $2$ par $5$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

Étape 2.5

Élevez $- 20 + 10 x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Étape 2.6

Élevez $- 20 + 10 x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + {(- 20 + 10 x)}^{1 + 1} e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + {(- 20 + 10 x)}^{2} e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Étape 2.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} {(- 20 + 10 x)}^{2} + 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

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Étape 4.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Étape 4.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 20 x + 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 4.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 4.1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 4.1.2.4

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 4.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 4.1.2.7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 (2 x))$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $2$ par $5$ .

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$

Étape 5.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

$- 20 + 10 x = 0$

Étape 5.3

Définissez $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.1

Définissez $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ égal à $0$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}) = \ln (0)$

Étape 5.3.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.3.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 5.4

Définissez $- 20 + 10 x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $- 20 + 10 x$ égal à $0$ .

$- 20 + 10 x = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $- 20 + 10 x = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Ajoutez $20$ aux deux côtés de l’équation.

$10 x = 20$

Étape 5.4.2.2

Divisez chaque terme dans $10 x = 20$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 5.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $10 x = 20$ par $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{20}{10}$

Étape 5.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 x}{10} = \frac{20}{10}$

Étape 5.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{20}{10}$

Étape 5.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.2.3.1

Divisez $20$ par $10$ .

$x = 2$

Étape 5.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$ vraie.

$x = 2$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 2$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1.1

Multipliez $- 20$ par $2$ .

$e^{1 - 40 + 5 {(2)}^{2}} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Étape 9.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e^{1 - 40 + 5 \cdot 4} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Étape 9.1.1.3

Multipliez $5$ par $4$ .

$e^{1 - 40 + 20} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Étape 9.1.2

Soustrayez $40$ de $1$ .

$e^{- 39 + 20} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Étape 9.1.3

Additionnez $- 39$ et $20$ .

$e^{- 19} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Étape 9.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{19}} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Étape 9.1.5

Multipliez $10$ par $2$ .

$\frac{1}{e^{19}} {(- 20 + 20)}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Étape 9.1.6

Additionnez $- 20$ et $20$ .

$\frac{1}{e^{19}} \cdot 0^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Étape 9.1.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{e^{19}} \cdot 0 + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Étape 9.1.8

Multipliez $\frac{1}{e^{19}}$ par $0$ .

$0 + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Étape 9.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.9.1

Multipliez $- 20$ par $2$ .

$0 + 10 e^{1 - 40 + 5 {(2)}^{2}}$

Étape 9.1.9.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$0 + 10 e^{1 - 40 + 5 \cdot 4}$

Étape 9.1.9.3

Multipliez $5$ par $4$ .

$0 + 10 e^{1 - 40 + 20}$

Étape 9.1.10

Soustrayez $40$ de $1$ .

$0 + 10 e^{- 39 + 20}$

Étape 9.1.11

Additionnez $- 39$ et $20$ .

$0 + 10 e^{- 19}$

Étape 9.1.12

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 10 \frac{1}{e^{19}}$

Étape 9.1.13

Associez $10$ et $\frac{1}{e^{19}}$ .

$0 + \frac{10}{e^{19}}$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $\frac{10}{e^{19}}$ .

$\frac{10}{e^{19}}$

Étape 10

$x = 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 20$ par $2$ .

$f (2) = e^{1 - 40 + 5 {(2)}^{2}}$

Étape 11.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = e^{1 - 40 + 5 \cdot 4}$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $5$ par $4$ .

$f (2) = e^{1 - 40 + 20}$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.2.2.1

Soustrayez $40$ de $1$ .

$f (2) = e^{- 39 + 20}$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $- 39$ et $20$ .

$f (2) = e^{- 19}$

Étape 11.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = \frac{1}{e^{19}}$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $\frac{1}{e^{19}}$ .

$y = \frac{1}{e^{19}}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ .

$(2, \frac{1}{e^{19}})$ est un minimum local

Étape 13