Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = 2 x - 4$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$2 x - x^{2} = 2 x - 4$

Étape 1.2

Résolvez $2 x - x^{2} = 2 x - 4$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x - x^{2} - 2 x = - 4$

Étape 1.2.1.2

Associez les termes opposés dans $2 x - x^{2} - 2 x$ .

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Étape 1.2.1.2.1

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$- x^{2} + 0 = - 4$

Étape 1.2.1.2.2

Additionnez $- x^{2}$ et $0$ .

$- x^{2} = - 4$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Étape 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 1.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 1.2.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 1.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 1.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 1.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 1.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 2$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$y = 2 (2) - 4$

Étape 1.3.2

Simplifiez $2 (2) - 4$ .

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = 4 - 4$

Étape 1.3.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$y = 0$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = - 2$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$y = 2 (- 2) - 4$

Étape 1.4.2

Simplifiez $2 (- 2) - 4$ .

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Étape 1.4.2.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y = - 4 - 4$

Étape 1.4.2.2

Soustrayez $4$ de $- 4$ .

$y = - 8$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(2, 0)$

$(- 2, - 8)$

$(2, 0)$

$(- 2, - 8)$

Étape 2

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Étape 3

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x d x - \int_{- 2}^{2} 2 x - 4 d x$

Étape 4

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 2$ et $2$ .

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Étape 4.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x - (2 x - 4) d x$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} + 2 x - (2 x) - - 4$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- x^{2} + 2 x - 2 x - - 4$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$- x^{2} + 2 x - 2 x + 4$

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 2 x - 2 x + 4 d x$

Étape 4.3

Associez les termes opposés dans $- x^{2} + 2 x - 2 x + 4$ .

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Étape 4.3.1

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$- x^{2} + 0 + 4$

Étape 4.3.2

Additionnez $- x^{2}$ et $0$ .

$- x^{2} + 4$

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 4 d x$

Étape 4.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Étape 4.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{- 2}^{2} x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Étape 4.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Étape 4.7

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 4 d x$

Étape 4.8

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + 4 x]_{- 2}^{2}$

Étape 4.9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.9.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $- 2$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 x]_{- 2}^{2}$

Étape 4.9.2

Évaluez $4 x$ sur $2$ et sur $- 2$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Étape 4.9.3

Simplifiez

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Étape 4.9.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Étape 4.9.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Étape 4.9.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (\frac{8}{3} - - \frac{8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Étape 4.9.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3})) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Étape 4.9.3.5

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $1$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Étape 4.9.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{8 + 8}{3} + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Étape 4.9.3.7

Additionnez $8$ et $8$ .

$- \frac{16}{3} + 4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2$

Étape 4.9.3.8

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{16}{3} + 8 - 4 \cdot - 2$

Étape 4.9.3.9

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$- \frac{16}{3} + 8 + 8$

Étape 4.9.3.10

Additionnez $8$ et $8$ .

$- \frac{16}{3} + 16$

Étape 4.9.3.11

Pour écrire $16$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.9.3.12

Associez $16$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

Étape 4.9.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 16 + 16 \cdot 3}{3}$

Étape 4.9.3.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.9.3.14.1

Multipliez $16$ par $3$ .

$\frac{- 16 + 48}{3}$

Étape 4.9.3.14.2

Additionnez $- 16$ et $48$ .

$\frac{32}{3}$

Étape 5