Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 4.4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Étape 4.4.2

Factorisez $x$ à partir de $x - 2 \ln (x) x$ .

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Étape 4.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Étape 4.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Étape 4.4.2.3

Factorisez $x$ à partir de $- 2 \ln (x) x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Étape 4.4.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Étape 5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Étape 6

Simplifiez $- 2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$