Calcul infinitésimal Exemples

${(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{5}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(2 x - 3)}^{4}$ et $g (x) = {(x^{2} + x + 1)}^{5}$ .

${(2 x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{5}] + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2} + x + 1$ .

${(2 x - 3)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 5$ .

${(2 x - 3)}^{4} (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} + x + 1$ .

${(2 x - 3)}^{4} (5 {(x^{2} + x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Déplacez $5$ à gauche de ${(2 x - 3)}^{4}$ .

$5 \cdot {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1] + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

Étape 3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1 + 0) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

Étape 3.6

Additionnez $2 x + 1$ et $0$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{4}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 2 x - 3$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x - 3$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x - 3])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 3])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x - 3$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (4 {(2 x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 3])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Déplacez $4$ à gauche de ${(x^{2} + x + 1)}^{5}$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 \cdot {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 5.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 5.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 5.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3} (2 + 0)$

Étape 5.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.7.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3} \cdot 2$

Étape 5.7.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Factorisez ${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ à partir de $5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3}$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez ${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ à partir de $5 {(2 x - 3)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1)$ .

${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 3) (2 x + 1)) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3}$

Étape 6.1.2

Factorisez ${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ à partir de $8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 3)}^{3}$ .

${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 3) (2 x + 1)) + {(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (8 (x^{2} + x + 1))$

Étape 6.1.3

Factorisez ${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ à partir de ${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 3) (2 x + 1)) + {(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (8 (x^{2} + x + 1))$ .

${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 3) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$

Étape 6.2

Réorganisez les facteurs de ${(2 x - 3)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 3) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{4} {(2 x - 3)}^{3} (5 (2 x - 3) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$