Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x \sqrt{x^{2} - 1})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} - 1}$ comme ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9

Associez les fractions.

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Étape 9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9.3

Placez ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9.4

Associez $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 13

Associez les fractions.

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Étape 13.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 13.2

Associez $2$ et $\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 13.3

Associez $\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 17

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 17.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 17.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 17.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 18

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Étape 19

Multipliez ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 20

Pour écrire ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22

Multipliez ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 22.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{1}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23

Simplifiez ${(x^{2} - 1)}^{1}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 25

Multipliez $\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 26

Multipliez ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 26.1

Déplacez ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 26.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 26.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Étape 26.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 26.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{1}}$

Étape 27

Simplifiez $x {(x^{2} - 1)}^{1}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x (x^{2} - 1)}$

Étape 28

Simplifiez

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Étape 28.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

Étape 28.2

Associez des termes.

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Étape 28.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 28.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 28.2.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{1} x^{2} + x \cdot - 1}$

Étape 28.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{1 + 2} + x \cdot - 1}$

Étape 28.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{3} + x \cdot - 1}$

Étape 28.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{3} - 1 \cdot x}$

Étape 28.2.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{3} - x}$