Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (3 e^{(2 x - 5)} {(3 x^{3} + 5)}^{7})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}$ .

$\frac{1}{3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} \frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}]$ .

$\frac{1}{3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (3 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}])$

Étape 2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}}$ .

$\frac{3}{3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}]$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{3 e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}]$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{2 x - 5}$ et $g (x) = {(3 x^{3} + 5)}^{7}$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} + 5)}^{7}] + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = 3 x^{3} + 5$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x^{3} + 5$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 5]) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 5]) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x^{3} + 5$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {(3 x^{3} + 5)}^{6} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 5]) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {(3 x^{3} + 5)}^{6} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5])) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

Étape 5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {(3 x^{3} + 5)}^{6} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5])) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {(3 x^{3} + 5)}^{6} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5])) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

Étape 5.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {(3 x^{3} + 5)}^{6} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [5])) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

Étape 5.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {(3 x^{3} + 5)}^{6} (9 x^{2} + 0)) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.1

Additionnez $9 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (7 {(3 x^{3} + 5)}^{6} (9 x^{2})) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

Étape 5.6.2

Multipliez $9$ par $7$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [e^{2 x - 5}])$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x - 5$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $2 x - 5$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 x - 5$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} (e^{2 x - 5} \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

Étape 7

Différenciez.

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Étape 7.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Étape 7.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Étape 7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Étape 7.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5} (2 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Étape 7.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5} (2 + 0))$

Étape 7.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5} \cdot 2)$

Étape 7.6.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5}$ .

$\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + 2 \cdot ({(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5}))$

Étape 7.6.3

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}} (e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + 2 {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5})$ .

$(e^{2 x - 5} (63 {(3 x^{3} + 5)}^{6} x^{2}) + 2 {(3 x^{3} + 5)}^{7} e^{2 x - 5}) \frac{1}{e^{2 x - 5} {(3 x^{3} + 5)}^{7}}$