Calcul infinitésimal Exemples

$x^{4} (x + y) = y^{2} (3 x - y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{4} (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} (3 x - y))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x + y$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{4} (1 + y') + (x + y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{4} (1 + y') + (x + y) (4 x^{3})$

Étape 2.5

Déplacez $4$ à gauche de $x + y$ .

$x^{4} (1 + y') + 4 \cdot (x + y) x^{3}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} \cdot 1 + x^{4} y' + 4 (x + y) x^{3}$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} \cdot 1 + x^{4} y' + (4 x + 4 y) x^{3}$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} \cdot 1 + x^{4} y' + 4 x \cdot x^{3} + 4 y x^{3}$

Étape 2.6.4

Associez des termes.

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Étape 2.6.4.1

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 x \cdot x^{3} + 4 y x^{3}$

Étape 2.6.4.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.4.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 (x^{3} x) + 4 y x^{3}$

Étape 2.6.4.2.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 2.6.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 (x^{3} x^{1}) + 4 y x^{3}$

Étape 2.6.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3 + 1} + 4 y x^{3}$

Étape 2.6.4.2.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{4} + 4 y x^{3}$

Étape 2.6.4.3

Additionnez $x^{4}$ et $4 x^{4}$ .

$5 x^{4} + x^{4} y' + 4 y x^{3}$

Étape 2.6.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3} y$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y^{2}$ et $g (x) = 3 x - y$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [3 x - y] + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$y^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$y^{2} (3 - \frac{d}{d x} [y]) + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$y^{2} (3 - y') + (3 x - y) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.5

Déplacez $2$ à gauche de $3 x - y$ .

$y^{2} (3 - y') + 2 \cdot (3 x - y) y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.6

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y^{2} (3 - y') + 2 (3 x - y) y y'$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + 2 (3 x - y) y y'$

Étape 3.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + (2 (3 x) + 2 (- y)) y y'$

Étape 3.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + (2 (3 x) y + 2 (- y) y) y'$

Étape 3.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- y') + 2 (3 x) y y' + 2 (- y) y y'$

Étape 3.7.5

Associez des termes.

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Étape 3.7.5.1

Déplacez $3$ à gauche de $y^{2}$ .

$3 \cdot y^{2} + y^{2} (- y') + 2 (3 x) y y' + 2 (- y) y y'$

Étape 3.7.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' + 2 (- y) y y'$

Étape 3.7.5.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 y \cdot y y'$

Étape 3.7.5.4

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 (y^{1} y) y'$

Étape 3.7.5.5

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 (y^{1} y^{1}) y'$

Étape 3.7.5.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 y^{1 + 1} y'$

Étape 3.7.5.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 y^{2} + y^{2} (- y') + 6 x y y' - 2 y^{2} y'$

Étape 3.7.5.8

Soustrayez $2 y^{2} y'$ de $y^{2} (- y')$ .

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Étape 3.7.5.8.1

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $- 1$ .

$3 y^{2} - 1 \cdot y^{2} y' - 2 y^{2} y' + 6 x y y'$

Étape 3.7.5.8.2

Soustrayez $2 y^{2} y'$ de $- 1 \cdot y^{2} y'$ .

$3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$5 x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3} y = 3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Comme $y'$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y' = 5 x^{4} + x^{4} y' + 4 x^{3} y$

Étape 5.2

Soustrayez $x^{4} y'$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} - 3 y^{2} y' + 6 x y y' - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y$

Étape 5.3

Soustrayez $3 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 y^{2} y' + 6 x y y' - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $- 3 y^{2} y' + 6 x y y' - x^{4} y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + 6 x y y' - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $6 x y y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (6 x y) - x^{4} y' = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $- x^{4} y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (6 x y) + y' (- x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Étape 5.4.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 3 y^{2}) + y' (6 x y)$ .

$y' (- 3 y^{2} + 6 x y) + y' (- x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Étape 5.4.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 3 y^{2} + 6 x y) + y' (- x^{4})$ .

$y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ par $- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}) = 5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ par $- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ .

$\frac{y' (- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4})}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{5 x^{4}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} + \frac{4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} - \frac{3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Étape 5.5.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}} - \frac{3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Étape 5.5.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}$

Étape 5.5.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2}) + 6 x y - x^{4}}$

Étape 5.5.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $6 x y$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2}) - (- 6 x y) - x^{4}}$

Étape 5.5.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 y^{2}) - (- 6 x y)$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2} - 6 x y) - x^{4}}$

Étape 5.5.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{4}$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})}$

Étape 5.5.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}$

Étape 5.5.3.9

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.5.3.9.1

Réécrivez $- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ comme $- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ .

$y' = \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}$

Étape 5.5.3.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}$