Calcul infinitésimal Exemples

$\tan (x + y) = x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\tan (x + y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = x + y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$\sec^{2} (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\sec^{2} (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec^{2} (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\sec^{2} (x + y) (1 + y')$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$ par $\sec^{2} (x + y)$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$ par $\sec^{2} (x + y)$ .

$\frac{\sec^{2} (x + y) (1 + y')}{\sec^{2} (x + y)} = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $\sec^{2} (x + y)$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sec^{2} (x + y) (1 + y')}{\sec^{2} (x + y)} = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

Étape 5.1.2.1.2

Divisez $1 + y'$ par $1$ .

$1 + y' = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$1 + y' = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (x + y)}$

Étape 5.1.3.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x + y)}$ comme ${(\frac{1}{\sec (x + y)})}^{2}$ .

$1 + y' = {(\frac{1}{\sec (x + y)})}^{2}$

Étape 5.1.3.3

Réécrivez $\sec (x + y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 + y' = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x + y)}})}^{2}$

Étape 5.1.3.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (x + y)}$ .

$1 + y' = {(1 \cos (x + y))}^{2}$

Étape 5.1.3.5

Multipliez $\cos (x + y)$ par $1$ .

$1 + y' = \cos^{2} (x + y)$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y' = \cos^{2} (x + y) - 1$

Étape 5.2.2

Remettez dans l’ordre $\cos^{2} (x + y)$ et $- 1$ .

$y' = - 1 + \cos^{2} (x + y)$

Étape 5.2.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y' = - 1 (1) + \cos^{2} (x + y)$

Étape 5.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (x + y)$ .

$y' = - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x + y))$

Étape 5.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x + y))$ .

$y' = - 1 (1 - \cos^{2} (x + y))$

Étape 5.2.6

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (x + y))$ comme $- (1 - \cos^{2} (x + y))$ .

$y' = - (1 - \cos^{2} (x + y))$

Étape 5.2.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$y' = - \sin^{2} (x + y)$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \sin^{2} (x + y)$