Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \sin (2 x) d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{8}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

Étape 1.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Étape 5

Évaluez $- \cos (u)$ sur $\frac{π}{4}$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

Étape 6

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (0))$

Étape 6.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 7.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.14644660 \dots$