Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{7} w^{2} \ln (w) d w$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (w)$ et $d v = w^{2}$ .

$\ln (w) (\frac{1}{3} w^{3})]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $w^{3}$ .

$\ln (w) \frac{w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Étape 2.2

Associez $\ln (w)$ et $\frac{w^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $w$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} w^{3} \frac{1}{w} d w)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $w^{3}$ et $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w^{3}}{w} d w)$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $w^{3}$ et $w$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $w$ à partir de $w^{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w} d w)$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Élevez $w$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w^{1}} d w)$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $w$ à partir de $w^{1}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} \frac{w^{2}}{1} d w)$

Étape 4.2.2.5

Divisez $w^{2}$ par $1$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} w^{2} d w)$

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \frac{1}{3} \int_{1}^{7} w^{2} d w$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $w^{2}$ par rapport à $w$ est $\frac{1}{3} w^{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{7} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{7}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{\ln (w) w^{3}}{3}$ sur $7$ et sur $1$ .

$(\frac{\ln (7) \cdot 7^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{7}$

Étape 6.2

Évaluez $\frac{1}{3} w^{3}$ sur $7$ et sur $1$ .

$(\frac{\ln (7) \cdot 7^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$\frac{\ln (7) \cdot 343}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.2

Déplacez $343$ à gauche de $\ln (7)$ .

$\frac{343 \cdot \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.4

Multipliez $\ln (1)$ par $1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 7^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.5

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 343 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.6

Associez $\frac{1}{3}$ et $343$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{343}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Étape 6.3.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{343}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 6.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{343 - 1}{3}$

Étape 6.3.10

Soustrayez $1$ de $343$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{342}{3}$

Étape 6.3.11

Annulez le facteur commun à $342$ et $3$ .

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Étape 6.3.11.1

Factorisez $3$ à partir de $342$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 114}{3}$

Étape 6.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 114}{3 (1)}$

Étape 6.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 114}{3 \cdot 1}$

Étape 6.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{114}{1}$

Étape 6.3.11.2.4

Divisez $114$ par $1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot 114$

Étape 6.3.12

Multipliez $114$ par $- 1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - 114 (\frac{1}{3})$

Étape 6.3.13

Associez $- 114$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{- 114}{3}$

Étape 6.3.14

Annulez le facteur commun à $- 114$ et $3$ .

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Étape 6.3.14.1

Factorisez $3$ à partir de $- 114$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{3 \cdot - 38}{3}$

Étape 6.3.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.14.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{3 \cdot - 38}{3 (1)}$

Étape 6.3.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{3 \cdot - 38}{3 \cdot 1}$

Étape 6.3.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} + \frac{- 38}{1}$

Étape 6.3.14.2.4

Divisez $- 38$ par $1$ .

$\frac{343 \ln (7)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - 38$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 38 + \frac{343 \ln (7) - \ln (1)}{3}$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$- 38 + \frac{343 \ln (7) - 0}{3}$

Étape 7.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 38 + \frac{343 \ln (7) + 0}{3}$

Étape 7.3

Additionnez $343 \ln (7)$ et $0$ .

$- 38 + \frac{343 \ln (7)}{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 38 + \frac{343 \ln (7)}{3}$

Forme décimale :

$184.48239370 \dots$