Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\frac{6 x^{2} - 2 x - 7}{\sqrt{x}}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int \frac{6 x^{2} - 2 x - 7}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{6 x^{2} - 2 x - 7}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 3

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (6 x^{2} - 2 x - 7) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (6 x^{2} - 2 x - 7) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int (6 x^{2} - 2 x - 7) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (6 x^{2} - 2 x - 7) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5

Développez $(6 x^{2} - 2 x - 7) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (6 x^{2} - 2 x) x^{- \frac{1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 6 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 6 x^{2 - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.4

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int 6 x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.5

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int 6 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 6 x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.7.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int 6 x^{\frac{4 - 1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.7.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\int 6 x^{\frac{3}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 6 x^{\frac{3}{2}} - 2 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 6 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{1 - \frac{1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.10

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int 6 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 6 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{2 - 1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5.12

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int 6 x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 6 x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 2 x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 2 x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int - 2 x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 9

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 11

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 7$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 7 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Simplifiez

$\frac{12 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 7 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 13.2

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$\frac{12 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 14 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{12}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - 14 x^{\frac{1}{2}} + C$