Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} + 1$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} + 1) (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$(x^{2} + 1) (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 1$ .

$2 \cdot (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (2 x + 0)$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (2 x)$

Étape 2.8.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 1$ .

$2 (x^{2} + 1) x + 2 \cdot (x^{2} - 1) x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x + 2 (x^{2} - 1) x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + 2 (x^{2} - 1) x$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + (2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

Étape 3.5

Associez des termes.

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Étape 3.5.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

Étape 3.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

Étape 3.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

Étape 3.5.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

Étape 3.5.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{3} + 2 x + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 1 x$

Étape 3.5.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 1 x$

Étape 3.5.7

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3} + 2 \cdot - 1 x$

Étape 3.5.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3} - 2 x$

Étape 3.5.9

Additionnez $2 x^{3}$ et $2 x^{3}$ .

$4 x^{3} + 2 x - 2 x$

Étape 3.5.10

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$4 x^{3} + 0$

Étape 3.5.11

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$4 x^{3}$