Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{3} + x + 1}{x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3} + x + 1$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + x + 1] - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1 + 0) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.5

Additionnez $3 x^{2} + 1$ et $0$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 1)}{x^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1 - (x^{3} + x + 1)}{x^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.3.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 3.3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 3.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1}{x^{2}}$

Étape 3.3.2

Associez les termes opposés dans $3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1$ .

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{3} + 0 - 1}{x^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $3 x^{3} - x^{3}$ et $0$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 1}{x^{2}}$

Étape 3.3.3

Soustrayez $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 1}{x^{2}}$