Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{1}{{(2 + t)}^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = - 1$ et $g (t) = \frac{1}{{(2 + t)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(2 + t)}^{2}}] + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(2 + t)}^{2}}$ comme ${({(2 + t)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d t} [{({(2 + t)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${({(2 + t)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d t} [{(2 + t)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{d}{d t} [{(2 + t)}^{- 2}] + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 2}$ et $g (t) = 2 + t$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 + t$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d t} [2 + t]) + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} [2 + t]) + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + t$ .

$- (- 2 {(2 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [2 + t]) + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 ({(2 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [2 + t]) + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 {(2 + t)}^{- 3} (\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 4.3

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$2 {(2 + t)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 4.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [t]$ .

$2 {(2 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t] + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 {(2 + t)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 4.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 {(2 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 4.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$2 {(2 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \cdot 0$

Étape 4.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.8.1

Multipliez $\frac{1}{{(2 + t)}^{2}}$ par $0$ .

$2 {(2 + t)}^{- 3} + 0$

Étape 4.8.2

Additionnez $2 {(2 + t)}^{- 3}$ et $0$ .

$2 {(2 + t)}^{- 3}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(2 + t)}^{3}}$

Étape 5.2

Associez $2$ et $\frac{1}{{(2 + t)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(2 + t)}^{3}}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{{(t + 2)}^{3}}$