Calcul infinitésimal Exemples

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - {(5 - 3 x)}^{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- {(5 - 3 x)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- {(5 - 3 x)}^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- {(5 - 3 x)}^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- {(5 - 3 x)}^{2}$ .

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- {(5 - 3 x)}^{2}]$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(5 - 3 x)}^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x)}^{2}]$ .

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x)}^{2}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 5 - 3 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 - 3 x$ .

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [5 - 3 x]))$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- (2 u_{2} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]))$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 - 3 x$ .

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- (2 (5 - 3 x) \frac{d}{d x} [5 - 3 x]))$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- 2 ((5 - 3 x) \frac{d}{d x} [5 - 3 x]))$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- 2 (5 - 3 x) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

Étape 4.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- 2 (5 - 3 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

Étape 4.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- 2 (5 - 3 x) \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 4.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- 2 (5 - 3 x) (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.6

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (6 (5 - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (6 (5 - 3 x) \cdot 1)$

Étape 4.8

Multipliez $6$ par $1$ .

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (6 (5 - 3 x))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (6 \cdot 5 + 6 (- 3 x))$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Multipliez $6$ par $5$ .

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (30 + 6 (- 3 x))$

Étape 5.2.2

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (30 - 18 x)$