Calcul infinitésimal Exemples

$x^{\sin (x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{\sin (x)}$ comme $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (x)})}]$

Étape 1.2

Développez $\ln (x^{\sin (x)})$ en déplaçant $\sin (x)$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (x)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \sin (x) \ln (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x) \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 5

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 6

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{\sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} (\ln (x) \cos (x))$

Étape 7.2

Associez $e^{\sin (x) \ln (x)}$ et $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} \ln (x) \cos (x)$

Étape 7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \cos (x) \ln (x) + \frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x}$