Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Déterminez où l’expression $\frac{\ln (x)}{x^{2}}$ est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 1.2

Comme $\frac{\ln (x)}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la gauche et $\frac{\ln (x)}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la droite, $x = 0$ est une asymptote verticale.

$x = 0$

Étape 1.3

Ignorez le logarithme et étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 1.4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 0$

$m = 2$

Étape 1.5

Comme $n < m$ , l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

$y = 0$

Étape 1.6

Aucune asymptote oblique n’est présente pour les fonctions logarithmiques et trigonométriques.

Aucune asymptote oblique

Étape 1.7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 0$

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Asymptotes verticales : $x = 0$

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{\ln (1)}{{(1)}^{2}}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (1) = \frac{0}{1^{2}}$

Étape 2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{0}{1}$

Étape 2.2.3

Divisez $0$ par $1$ .

$f (1) = 0$

Étape 2.2.4

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 2.3

Convertissez $0$ en décimale.

$y = 0$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 2$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{\ln (2)}{{(2)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (2)}{4}$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{\ln (2)}{4}$ comme $\frac{1}{4} \ln (2)$ .

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot \ln (2)$

Étape 3.2.3

Simplifiez $\frac{1}{4} \ln (2)$ en déplaçant $\frac{1}{4}$ dans le logarithme.

$f (2) = \ln (2^{\frac{1}{4}})$

Étape 3.2.4

La réponse finale est $\ln (2^{\frac{1}{4}})$ .

$\ln (2^{\frac{1}{4}})$

Étape 3.3

Convertissez $\ln (2^{\frac{1}{4}})$ en décimale.

$y = 0.17328679$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 3$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \frac{\ln (3)}{{(3)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = \frac{\ln (3)}{9}$

Étape 4.2.2

Réécrivez $\frac{\ln (3)}{9}$ comme $\frac{1}{9} \ln (3)$ .

$f (3) = \frac{1}{9} \cdot \ln (3)$

Étape 4.2.3

Simplifiez $\frac{1}{9} \ln (3)$ en déplaçant $\frac{1}{9}$ dans le logarithme.

$f (3) = \ln (3^{\frac{1}{9}})$

Étape 4.2.4

La réponse finale est $\ln (3^{\frac{1}{9}})$ .

$\ln (3^{\frac{1}{9}})$

Étape 4.3

Convertissez $\ln (3^{\frac{1}{9}})$ en décimale.

$y = 0.12206803$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = 0$ et les points $(1, 0), (2, 0.17328679), (3, 0.12206803)$ .

Asymptote verticale : $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.173 \\ 3 & 0.122 \end{array}$

Étape 6