Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $0$ .

$2 x^{- 3} + 0$

Étape 2.2.6.2

Additionnez $2 x^{- 3}$ et $0$ .

$2 x^{- 3}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2.3.2

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$2 (- 3 x^{- 4})$

Étape 3.4

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$- 6 x^{- 4}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 3.5.2

Associez des termes.

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Étape 3.5.2.1

Associez $- 6$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 6}{x^{4}}$

Étape 3.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = - \frac{6}{x^{4}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{6}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 4.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Étape 4.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$- 6 (- 4 x^{- 5})$

Étape 4.4

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$24 x^{- 5}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 \frac{1}{x^{5}}$

Étape 4.5.2

Associez $24$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{24}{x^{5}}$