Calcul infinitésimal Exemples

$\tan (x)$

Étape 1

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = \sec^{2} (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

Étape 2.3

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

Étape 2.4

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

Étape 2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec^{2} (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Étape 3.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Étape 3.4

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Étape 3.4.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Étape 3.6

Déplacez $2$ à gauche de $\tan (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \cdot \tan (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 3.7

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Étape 3.8

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x) \sec (x))$

Étape 3.9

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x) \sec (x))$

Étape 3.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x))$

Étape 3.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x))$

Étape 3.12

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec (x)))$

Étape 3.13

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)))$

Étape 3.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1})$

Étape 3.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Étape 3.16

Simplifiez

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Étape 3.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sec^{4} (x) + 2 (2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Étape 3.16.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \sec^{4} (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Étape 3.16.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2.2

$4 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \tan (x)$ .

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Étape 4.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2.4

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 4.2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sec (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sec (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2.6

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2.7

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.7.1

Déplacez $\sec^{2} (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 ({\sec (x)}^{2 + 2} (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2.7.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$4 (\sec^{4} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{4} (x)$ .

$4 (2 \cdot \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2.9

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2.10

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2.13

Multipliez $\tan^{2} (x)$ par $\tan (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.13.1

Déplacez $\tan (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2.13.2

Multipliez $\tan (x)$ par $\tan^{2} (x)$ .

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Étape 4.2.13.2.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2.13.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 2} (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2.13.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.2.14

Déplacez $2$ à gauche de $\tan^{3} (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sec^{4} (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 4.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $\sec (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 4.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 4.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\sec (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 4.3.3

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Étape 4.3.4

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x))$

Étape 4.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x))$

Étape 4.3.6

Additionnez $1$ et $3$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{4} (x) \tan (x))$

Étape 4.3.7

Multipliez $4$ par $2$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

Étape 4.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.4.2.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 (\sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

Étape 4.4.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 (\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

Étape 4.4.2.3

Additionnez $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ et $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ .

$f^{4} (x) = 16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$