Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt{8 x + 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = 8 x + 1$ . Alors $d u = 8 d x$ , donc $\frac{1}{8} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 8 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $8 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $8$ et $0$ .

$8$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Étape 2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} \int \sqrt{u} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{1}{8} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{8 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 6.2.2

Multipliez $8$ par $3$ .

$\frac{2}{24} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $24$ .

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Étape 6.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{24} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 6.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 6.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 6.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x + 1$ .

$\frac{1}{12} {(8 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$