Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt{x} - 9}{\sqrt{x} + 9}$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} - 9}{\sqrt{x} + 9}]$

Étape 1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} - 9}{x^{\frac{1}{2}} + 9}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 9$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 9$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 9] - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{1}{2}} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 8.3

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 9

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 10

Additionnez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 9]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{1}{2}} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 13

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 14

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 16.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 17

Associez les fractions.

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Étape 17.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 17.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 17.3

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 18

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 19

Additionnez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 20

Simplifiez

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Étape 20.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 20.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (- x^{\frac{1}{2}} - - 9) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 20.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 20.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 20.4.1

Associez les termes opposés dans $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 20.4.1.1

Soustrayez $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 - - 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 20.4.1.2

Additionnez $9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$\frac{9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 20.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.4.2.1

Associez $9$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 20.4.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$\frac{\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 20.4.2.3

Associez $9$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 20.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{9 + 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 20.4.4

Additionnez $9$ et $9$ .

$\frac{\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 20.4.5

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 20.4.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 20.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 9}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 20.4.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 20.4.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 20.5

Associez des termes.

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Étape 20.5.1

Réécrivez $\frac{\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$ comme un produit.

$\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$

Étape 20.5.2

Multipliez $\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{9}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 9)}^{2}}$