Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Étape 1.1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Étape 1.1.2.4

Associez $\frac{4}{2}$ et $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Étape 1.1.2.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Étape 1.1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Étape 1.1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Étape 1.1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Étape 1.1.2.5.2.4

Divisez $2 x^{3}$ par $1$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 (2 x)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{2} + 12 x$ .

$6 x^{2} + 12 x$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} + 12 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$6 x^{2} + 12 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{2} + 12 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{2}$ .

$6 x (x) + 12 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $6 x$ à partir de $12 x$ .

$6 x (x) + 6 x (2) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (x) + 6 x (2)$ .

$6 x (x + 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 x (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 {(0)}^{3}$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3}$

Étape 3.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ est $(0, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 0)$

Étape 3.3

Remplacez $- 2$ dans $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{4} + 2 {(- 2)}^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot 16 + 2 {(- 2)}^{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (8)) + 2 {(- 2)}^{3}$

Étape 3.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8) + 2 {(- 2)}^{3}$

Étape 3.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 2) = 8 + 2 {(- 2)}^{3}$

Étape 3.3.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f (- 2) = 8 + 2 \cdot - 8$

Étape 3.3.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$f (- 2) = 8 - 16$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $16$ de $8$ .

$f (- 2) = - 8$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $- 8$ .

$- 8$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- 2$ dans $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ est $(- 2, - 8)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 2, - 8)$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 0), (- 2, - 8)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.1$ dans l’expression.

$f'' (- 2.1) = 6 {(- 2.1)}^{2} + 12 (- 2.1)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2.1) = 6 \cdot 4.41 + 12 (- 2.1)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $6$ par $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 26.46 + 12 (- 2.1)$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $12$ par $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 26.46 - 25.2$

Étape 5.2.2

Soustrayez $25.2$ de $26.46$ .

$f'' (- 2.1) = 1.26$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $1.26$ .

$1.26$

Étape 5.3

Sur $- 2.1$ , la dérivée seconde est $1.26$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 2)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f'' (- 1) = 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1) = 6 \cdot 1 + 12 (- 1)$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$f'' (- 1) = 6 + 12 (- 1)$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$f'' (- 1) = 6 - 12$

Étape 6.2.2

Soustrayez $12$ de $6$ .

$f'' (- 1) = - 6$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 6$ .

$- 6$

Étape 6.3

Sur $- 1$ , la dérivée seconde est $- 6$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 2, 0)$

Diminue sur $(- 2, 0)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.1$ dans l’expression.

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $0.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $6$ par $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 12 (0.1)$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $12$ par $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 1.2$

Étape 7.2.2

Additionnez $0.06$ et $1.2$ .

$f'' (0.1) = 1.26$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $1.26$ .

$1.26$

Étape 7.3

Sur $0.1$ , la dérivée seconde est $1.26$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 8), (0, 0)$ .

$(- 2, - 8), (0, 0)$

Étape 9