Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{2} - 1$ , $[1, 3]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x + 0$

Étape 1.1.1.3.2

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$f' (x) = 6 x$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x$ .

$6 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x = 0$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $6 x = 0$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $6 x = 0$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{6}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Divisez $0$ par $6$ .

$x = 0$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $3 x^{2} - 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$3 {(0)}^{2} - 1$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \cdot 0 - 1$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 - 1$

Étape 1.4.1.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(0, - 1)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$3 {(1)}^{2} - 1$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 \cdot 1 - 1$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 - 1$

Étape 3.1.2.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$2$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$3 {(3)}^{2} - 1$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$3^{1} {(3)}^{2} - 1$

Étape 3.2.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3^{1 + 2} - 1$

Étape 3.2.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$3^{3} - 1$

Étape 3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 - 1$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $1$ de $27$ .

$26$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(1, 2), (3, 26)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(3, 26)$

Minimum absolu : $(1, 2)$

Étape 5