Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 2} \frac{x + 2}{x^{3} + 8}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 2} x + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} x + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{- 2 + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Étape 1.1.2.3

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{3} + lim_{x \to - 2} 8}$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + lim_{x \to - 2} 8}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 8}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{3} + 8}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$\frac{0}{- 8 + 8}$

Étape 1.1.3.3.2

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 2} \frac{x + 2}{x^{3} + 8} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]}$

Étape 1.3.8

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{3 x^{2} + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{3 x^{2}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 2} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Étape 2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{(- 2)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{3 {(- 2)}^{2}}$

Étape 4.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{3 {(- 2)}^{2}}$

Étape 4.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{3 \cdot 4}$

Étape 4.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{1}{12}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{12}$

Forme décimale :

$0.08\overline{3}$