Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{45} \frac{1}{\sqrt{t + 4}} d t$

Étape 1

Laissez $u = t + 4$ . Puis $d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = t + 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $t + 4$ .

$\frac{d}{d t} [t + 4]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 4$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [4]$

Étape 1.1.4

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4$ par rapport à $t$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = t + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Étape 1.3

Additionnez $0$ et $4$ .

$u_{lower} = 4$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = t + 4$ .

$u_{upper} = 45 + 4$

Étape 1.5

Additionnez $45$ et $4$ .

$u_{upper} = 49$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 49$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{4}^{49} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{49} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{4}^{49} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{4}^{49} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int_{4}^{49} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{4}^{49} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{49}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $2 u^{\frac{1}{2}}$ sur $49$ et sur $4$ .

$(2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 7^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2.4

Évaluez l’exposant.

$2 \cdot 7 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2.5

Multipliez $2$ par $7$ .

$14 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2.6

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$14 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 4.2.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$14 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 4.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$14 - 2 \cdot 2^{1}$

Étape 4.2.9

Évaluez l’exposant.

$14 - 2 \cdot 2$

Étape 4.2.10

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$14 - 4$

Étape 4.2.11

Soustrayez $4$ de $14$ .

$10$

Étape 5