Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} 4 x^{5} - 5 x^{4} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} 4 x^{5} d x + \int_{0}^{1} - 5 x^{4} d x$

Étape 2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{0}^{1} x^{5} d x + \int_{0}^{1} - 5 x^{4} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$4 (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 5 x^{4} d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{6}$ et $x^{6}$ .

$4 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 5 x^{4} d x$

Étape 5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) - 5 \int_{0}^{1} x^{4} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$4 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) - 5 (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$4 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) - 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1})$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{x^{6}}{6}$ sur $1$ et sur $0$ .

$4 ((\frac{1^{6}}{6}) - \frac{0^{6}}{6}) - 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1})$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{x^{5}}{5}$ sur $1$ et sur $0$ .

$4 (\frac{1^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 (\frac{1}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 7.2.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 (\frac{1}{6} - \frac{0}{6}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 7.2.3.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $6$ .

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Étape 7.2.3.3.1

Factorisez $6$ à partir de $0$ .

$4 (\frac{1}{6} - \frac{6 (0)}{6}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 7.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.3.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$4 (\frac{1}{6} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 7.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{1}{6} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 7.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{1}{6} - \frac{0}{1}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 7.2.3.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$4 (\frac{1}{6} - 0) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 7.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$4 (\frac{1}{6} + 0) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 7.2.3.5

Additionnez $\frac{1}{6}$ et $0$ .

$4 (\frac{1}{6}) - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 7.2.3.6

Associez $4$ et $\frac{1}{6}$ .

$\frac{4}{6} - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 7.2.3.7

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 7.2.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (2)}{6} - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 7.2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 7.2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 7.2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 7.2.3.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 7.2.3.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} - \frac{0}{5})$

Étape 7.2.3.10

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 7.2.3.10.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Étape 7.2.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.10.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Étape 7.2.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Étape 7.2.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} - \frac{0}{1})$

Étape 7.2.3.10.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} - 0)$

Étape 7.2.3.11

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5} + 0)$

Étape 7.2.3.12

Additionnez $\frac{1}{5}$ et $0$ .

$\frac{2}{3} - 5 (\frac{1}{5})$

Étape 7.2.3.13

Associez $- 5$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{- 5}{5}$

Étape 7.2.3.14

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $5$ .

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Étape 7.2.3.14.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$\frac{2}{3} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

Étape 7.2.3.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.14.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{2}{3} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

Étape 7.2.3.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} + \frac{- 1}{1}$

Étape 7.2.3.14.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2}{3} - 1$

Étape 7.2.3.15

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 7.2.3.16

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Étape 7.2.3.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}$

Étape 7.2.3.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.18.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2 - 3}{3}$

Étape 7.2.3.18.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{- 1}{3}$

Étape 7.2.3.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{3}$

Forme décimale :

$- 0.\overline{3}$

Étape 9