Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{16 + r^{2}}} d r$

Étape 1

Laissez $r = 4 \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d r = 4 \sec^{2} (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \sec^{2} (t)$ est positif.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + {(4 \tan (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{16 + {(4 \tan (t))}^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + 4^{2} \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + 16 \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $16$ à partir de $16$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $16$ à partir de $16 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 (\tan^{2} (t))}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $16$ à partir de $16 (1) + 16 (\tan^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1 + \tan^{2} (t))}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.5

Réorganisez les termes.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (\tan^{2} (t) + 1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 \sec^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.7

Réécrivez $16 \sec^{2} (t)$ comme ${(4 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(4 \sec (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $4 \sec (t)$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $4 \sec (t)$ à partir de $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec (t) \sec (t)) d t$

Étape 2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{0.24497866} {(4 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} {(4 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Étape 2.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $4 (\tan (t))$ .

$\int_{0}^{0.24497866} 4^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Étape 2.2.2.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\int_{0}^{0.24497866} 64 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Étape 3

Comme $64$ est constant par rapport à $t$ , placez $64$ en dehors de l’intégrale.

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Étape 4

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Étape 5

Factorisez $\tan^{2} (t)$ .

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Étape 6

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (t)$ comme $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$64 \int_{0}^{0.24497866} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Étape 7

Simplifiez

$64 \int_{0}^{0.24497866} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Étape 8

Laissez $u = \sec (t)$ . Alors $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , donc $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = \sec (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Étape 8.1.2

La dérivée de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Étape 8.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = \sec (t)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Étape 8.3

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 8.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = \sec (t)$ .

$u_{upper} = \sec (0.24497866)$

Étape 8.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sec (0.24497866)$

Étape 8.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$64 \int_{1}^{\sec (0.24497866)} - 1 + u^{2} d u$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$64 (\int_{1}^{\sec (0.24497866)} - 1 d u + \int_{1}^{\sec (0.24497866)} u^{2} d u)$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$64 (- u]_{1}^{\sec (0.24497866)} + \int_{1}^{\sec (0.24497866)} u^{2} d u)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$64 (- u]_{1}^{\sec (0.24497866)} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Associez $- u]_{1}^{\sec (0.24497866)}$ et $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)}$ .

$64 (- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

Étape 12.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$64 (- u + \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

Étape 13

Remplacez et simplifiez.

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Étape 13.1

Évaluez $- u + \frac{u^{3}}{3}$ sur $\sec (0.24497866)$ et sur $1$ .

$64 ((- \sec (0.24497866) + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 13.2

Simplifiez

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Étape 13.2.1

Pour écrire $- \sec (0.24497866)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$64 (- \sec (0.24497866) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 13.2.2

Associez $- \sec (0.24497866)$ et $\frac{3}{3}$ .

$64 (\frac{- \sec (0.24497866) \cdot 3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 13.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$64 (\frac{- \sec (0.24497866) \cdot 3 + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 13.2.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 13.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Étape 13.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Étape 13.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Étape 13.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Étape 13.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Étape 13.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

Étape 13.2.10.2

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 2}{3})$

Étape 13.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - - \frac{2}{3})$

Étape 13.2.12

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

Étape 13.2.13

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 \sec (0.24497866)$ .

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866)) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Étape 14.2

Factorisez $- 1$ à partir de $\sec^{3} (0.24497866)$ .

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866)) - 1 (- \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

Étape 14.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 \sec (0.24497866)) - 1 (- \sec^{3} (0.24497866))$ .

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

Étape 14.4

Réécrivez $- (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))$ comme $- 1 (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))$ .

$64 (\frac{- 1 (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

Étape 14.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$64 (- \frac{3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$64 (- \frac{3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Forme décimale :

$0.06124186 \dots$

Étape 16