Calcul infinitésimal Exemples

$\int \arctan (4 t) d t$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \arctan (4 t)$ et $d v = 1$ .

$\arctan (4 t) t - \int t \frac{4}{16 t^{2} + 1} d t$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $t$ et $\frac{4}{16 t^{2} + 1}$ .

$\arctan (4 t) t - \int \frac{t \cdot 4}{16 t^{2} + 1} d t$

Étape 2.2

Déplacez $4$ à gauche de $t$ .

$\arctan (4 t) t - \int \frac{4 t}{16 t^{2} + 1} d t$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\arctan (4 t) t - (4 \int \frac{t}{16 t^{2} + 1} d t)$

Étape 4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{t}{16 t^{2} + 1} d t$

Étape 5

Laissez $u = 16 t^{2} + 1$ . Alors $d u = 32 t d t$ , donc $\frac{1}{32} d u = t d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 16 t^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $16 t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [16 t^{2} + 1]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 t^{2} + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [16 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [16 t^{2}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $16 t^{2}$ par rapport à $t$ est $16 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$16 (2 t) + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $16$ .

$32 t + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$32 t + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $32 t$ et $0$ .

$32 t$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{32}$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{u \cdot 32} d u$

Étape 6.2

Déplacez $32$ à gauche de $u$ .

$\arctan (4 t) t - 4 \int \frac{1}{32 u} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{32}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{32}$ en dehors de l’intégrale.

$\arctan (4 t) t - 4 (\frac{1}{32} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{32}$ et $- 4$ .

$\arctan (4 t) t + \frac{- 4}{32} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $32$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\arctan (4 t) t + \frac{4 (- 1)}{32} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $32$ .

$\arctan (4 t) t + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\arctan (4 t) t + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\arctan (4 t) t + \frac{- 1}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} (\ln (| u |) + C)$

Étape 10

Simplifiez

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \ln (| u |) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $16 t^{2} + 1$ .

$\arctan (4 t) t - \frac{1}{8} \ln (| 16 t^{2} + 1 |) + C$