Calcul infinitésimal Exemples

$\int e^{x} \sqrt{1 + e^{x}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 + e^{x}$ . Alors $d u = e^{x} d x$ , donc $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + e^{x}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $e^{x}$ .

$e^{x}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + e^{x}$ .

$\frac{2}{3} {(1 + e^{x})}^{\frac{3}{2}} + C$