Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{x + 3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 3}$ comme ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 3$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 1.7.3

Placez ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Étape 1.10

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)$

Étape 1.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 1.11.2

Multipliez $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Étape 2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Étape 2.1.2.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 2.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{- \frac{1}{2}})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 3$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 2.7.2

Associez ${(x + 3)}^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{{(x + 3)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 2.7.3

Placez ${(x + 3)}^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 2.7.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 (2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 2.7.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Étape 2.10

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (1 + 0)$

Étape 2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Étape 2.11.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1.1

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{4 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$ comme ${({(x + 3)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {({(x + 3)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 3)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

Étape 3.1.2.2.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 3.1.2.2.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

Étape 3.1.2.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{- 3}{2}}$

Étape 3.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{- \frac{3}{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ et $g (x) = x + 3$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 3.6.2

Soustrayez $2$ de $- 3$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 3.7

Associez les fractions.

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Étape 3.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 3.7.2

Associez ${(x + 3)}^{- \frac{5}{2}}$ et $\frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{{(x + 3)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 3.7.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.1

Déplacez $3$ à gauche de ${(x + 3)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 \cdot {(x + 3)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 3.7.3.2

Placez ${(x + 3)}^{- \frac{5}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2 {(x + 3)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 3.7.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot (\frac{3}{2 {(x + 3)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 3.7.3.4

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot (\frac{3}{2 {(x + 3)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 3.7.4

Multipliez $\frac{3}{2 {(x + 3)}^{\frac{5}{2}}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2 {(x + 3)}^{\frac{5}{2}} \cdot 4} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 3.7.5

Multipliez $4$ par $2$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 3)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 3)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 3)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Étape 3.10

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 3)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (1 + 0)$

Étape 3.11

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 3)}^{\frac{5}{2}}} \cdot 1$

Étape 3.11.2

Multipliez $\frac{3}{8 {(x + 3)}^{\frac{5}{2}}}$ par $1$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 3)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Comme $\frac{3}{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{8 {(x + 3)}^{\frac{5}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 3)}^{\frac{5}{2}}})$

Étape 4.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x + 3)}^{\frac{5}{2}}}$ comme ${({(x + 3)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 3)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1})$

Étape 4.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 3)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1})$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.2.1

Associez $\frac{5}{2}$ et $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}})$

Étape 4.1.2.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{\frac{- 5}{2}})$

Étape 4.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{- \frac{5}{2}})$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{5}{2}}$ et $g (x) = x + 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{5}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $- 5$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 4.7.2

Associez ${(x + 3)}^{- \frac{7}{2}}$ et $\frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{{(x + 3)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 4.7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.7.3.1

Déplacez $5$ à gauche de ${(x + 3)}^{- \frac{7}{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 \cdot {(x + 3)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 4.7.3.2

Placez ${(x + 3)}^{- \frac{7}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2 {(x + 3)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

Étape 4.7.4

Multipliez $\frac{3}{8}$ par $\frac{5}{2 {(x + 3)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3 \cdot 5}{8 (2 {(x + 3)}^{\frac{7}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 4.7.5

Multipliez.

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Étape 4.7.5.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{8 (2 {(x + 3)}^{\frac{7}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 4.7.5.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 3)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)$

Étape 4.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 3)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Étape 4.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 3)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Étape 4.10

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 3)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (1 + 0)$

Étape 4.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 3)}^{\frac{7}{2}}} \cdot 1$

Étape 4.11.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 3)}^{\frac{7}{2}}}$