Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} - \frac{1}{t^{2} + t}$

Étape 1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 1.1

Associez des termes.

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Étape 1.1.1

Pour écrire $\frac{1}{t}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t^{2} + t}{t^{2} + t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \cdot \frac{t^{2} + t}{t^{2} + t} - \frac{1}{t^{2} + t}$

Étape 1.1.2

Pour écrire $- \frac{1}{t^{2} + t}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t}{t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \cdot \frac{t^{2} + t}{t^{2} + t} - \frac{1}{t^{2} + t} \cdot \frac{t}{t}$

Étape 1.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $t (t^{2} + t)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{t}$ par $\frac{t^{2} + t}{t^{2} + t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{1}{t^{2} + t} \cdot \frac{t}{t}$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $\frac{1}{t^{2} + t}$ par $\frac{t}{t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{t}{(t^{2} + t) t}$

Étape 1.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(t^{2} + t) t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t}{t (t^{2} + t)} - \frac{t}{t (t^{2} + t)}$

Étape 1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + t - t}{t (t^{2} + t)}$

Étape 1.1.5

Soustrayez $t$ de $t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2} + 0}{t (t^{2} + t)}$

Étape 1.1.6

Additionnez $t^{2}$ et $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t^{2}}{t (t^{2} + t)}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun à $t^{2}$ et $t$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{t \cdot t}{t (t^{2} + t)}$

Étape 1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{t \to 0} \frac{t \cdot t}{t (t^{2} + t)}$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{t \to 0} \frac{t}{t^{2} + t}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{t \to 0} t}{lim_{t \to 0} t^{2} + t}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{2} + t}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{2} + lim_{t \to 0} t}$

Étape 2.1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $t^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{t \to 0} t)}^{2} + lim_{t \to 0} t}$

Étape 2.1.3.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 2.1.3.3.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{0}{0^{2} + lim_{t \to 0} t}$

Étape 2.1.3.3.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

Étape 2.1.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 2.1.3.4.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.4.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{t \to 0} \frac{t}{t^{2} + t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [t^{2} + t]}$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]}$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 t + \frac{d}{d t} [t]}$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 t + 1}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} 2 t + 1}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{t \to 0} 2 t + 1}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{t \to 0} 2 t + lim_{t \to 0} 1}$

Étape 3.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$\frac{1}{2 lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 1}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2 lim_{t \to 0} t + 1}$

Étape 4

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{1}{2 \cdot 0 + 1}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Étape 5.1.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 5.2

Divisez $1$ par $1$ .

$1$