Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Étape 2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}]$

Étape 3

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}]$

Étape 3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{1 - \frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}]$

Étape 3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{2 - 1}{2}}}]$

Étape 3.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Étape 7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$3 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Étape 12

Associez $x^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Étape 13

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Étape 14

Associez $- 3$ et $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 3 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Étape 15

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.1

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 15.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$