Calcul infinitésimal Exemples

\int_{0}^{1} (x^{2} + 6) e^{- x} d x

$\int_{0}^{1} (x^{2} + 6) e^{- x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , où

u = x^{2} + 6

$u = x^{2} + 6$ et

d v = e^{- x}

$d v = e^{- x}$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} (2 x) d x

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} (2 x) d x$

Étape 2

Multipliez

2

$2$ par

- 1

$- 1$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - 2 e^{- x} x d x

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - 2 e^{- x} x d x$

Étape 3

Comme

- 2

$- 2$ est constant par rapport à

x

$x$ , placez

- 2

$- 2$ en dehors de l’intégrale.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - (- 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} - (- 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x)$

Étape 4

Multipliez

- 2

$- 2$ par

- 1

$- 1$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , où

u = x

$u = x$ et

d v = e^{- x}

$d v = e^{- x}$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x)$

Étape 6

Comme

- 1

$- 1$ est constant par rapport à

x

$x$ , placez

- 1

$- 1$ en dehors de l’intégrale.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 1

$- 1$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Étape 7.2

Multipliez

\int_{0}^{1} e^{- x} d x

$\int_{0}^{1} e^{- x} d x$ par

1

$1$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Étape 8

Laissez

u = - x

$u = - x$ . Alors

d u = - d x

$d u = - d x$ , donc

- d u = d x

$- d u = d x$ . Réécrivez avec

u

$u$ et

d

$d$

u

$u$ .

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Étape 8.1

Laissez

u = - x

$u = - x$ . Déterminez

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez

- x

$- x$ .

\frac{d}{d x} [- x]

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 8.1.2

Comme

- 1

$- 1$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

- x

$- x$ par rapport à

x

$x$ est

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

- 1 \cdot 1

$- 1 \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

Étape 8.2

Remplacez la limite inférieure pour

x

$x$ dans

u = - x

$u = - x$ .

u_{lower} = - 0

$u_{lower} = - 0$

Étape 8.3

Multipliez

- 1

$- 1$ par

0

$0$ .

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

Étape 8.4

Remplacez la limite supérieure pour

x

$x$ dans

u = - x

$u = - x$ .

u_{upper} = - 1 \cdot 1

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Étape 8.5

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

u_{upper} = - 1

$u_{upper} = - 1$

Étape 8.6

Les valeurs déterminées pour

u_{lower}

$u_{lower}$ et

u_{upper}

$u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = - 1

$u_{upper} = - 1$

Étape 8.7

Réécrivez le problème en utilisant

u

$u$ ,

d u

$d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)$

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)$

Étape 9

Comme

- 1

$- 1$ est constant par rapport à

u

$u$ , placez

- 1

$- 1$ en dehors de l’intégrale.

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u)

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u)$

Étape 10

L’intégrale de

e^{u}

$e^{u}$ par rapport à

u

$u$ est

e^{u}

$e^{u}$ .

(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1

Évaluez

(x^{2} + 6) (- e^{- x})

$(x^{2} + 6) (- e^{- x})$ sur

1

$1$ et sur

0

$0$ .

((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))

$((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Étape 11.2

Évaluez

x (- e^{- x})

$x (- e^{- x})$ sur

1

$1$ et sur

0

$0$ .

((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1}))

$((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Étape 11.3

Évaluez

e^{u}

$e^{u}$ sur

- 1

$- 1$ et sur

0

$0$ .

((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))

$((1^{2} + 6) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4

Simplifiez

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Étape 11.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

(1 + 6) (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))

$(1 + 6) (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.2

Additionnez

1

$1$ et

6

$6$ .

7 (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))

$7 (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.3

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

7 (- e^{- 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))

$7 (- e^{- 1}) - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.4

Multipliez

- 1

$- 1$ par

7

$7$ .

- 7 e^{- 1} - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))

$- 7 e^{- 1} - (0^{2} + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.5

L’élévation de

$0$ à toute puissance positive produit

$0$ .

$- 7 e^{- 1} - (0 + 6) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.6

Additionnez

$0$ et

$6$ .

$- 7 e^{- 1} - 1 \cdot 6 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.7

Multipliez

$- 1$ par

$6$ .

$- 7 e^{- 1} - 6 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.8

Multipliez

$- 1$ par

$0$ .

$- 7 e^{- 1} - 6 (- e^{0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.9

Tout ce qui est élevé à la puissance

$0$ est

$1$ .

$- 7 e^{- 1} - 6 (- 1 \cdot 1) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.10

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$- 7 e^{- 1} - 6 \cdot - 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.11

Multipliez

$- 6$ par

$- 1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.12

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.13

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.14

Multipliez

$- 1$ par

$0$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.15

Tout ce qui est élevé à la puissance

$0$ est

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.16

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.17

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.18

Additionnez

$- e^{- 1}$ et

$0$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.19

Tout ce qui est élevé à la puissance

$0$ est

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1))$

Étape 11.4.20

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$- 7 e^{- 1} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 \frac{1}{e} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Étape 12.1.2

Associez

$- 7$ et

$\frac{1}{e}$ .

$\frac{- 7}{e} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Étape 12.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Étape 12.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- \frac{1}{e} - (e^{- 1} - 1))$

Étape 12.1.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- \frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1))$

Étape 12.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - - 1)$

Étape 12.1.4.4

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1)$

Étape 12.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (1 + \frac{- 1 - 1}{e})$

Étape 12.1.6

Soustrayez

$1$ de

$- 1$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (1 + \frac{- 2}{e})$

Étape 12.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 (1 - \frac{2}{e})$

Étape 12.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 \cdot 1 + 2 (- \frac{2}{e})$

Étape 12.1.9

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 + 2 (- \frac{2}{e})$

Étape 12.1.10

Multipliez

$2 (- \frac{2}{e})$ .

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Étape 12.1.10.1

Multipliez

$- 1$ par

$2$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 - 2 \frac{2}{e}$

Étape 12.1.10.2

Associez

$- 2$ et

$\frac{2}{e}$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 + \frac{- 2 \cdot 2}{e}$

Étape 12.1.10.3

Multipliez

$- 2$ par

$2$ .

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 + \frac{- 4}{e}$

Étape 12.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7}{e} + 6 + 2 - \frac{4}{e}$

Étape 12.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 + 2 + \frac{- 7 - 4}{e}$

Étape 12.3

Soustrayez

$4$ de

$- 7$ .

$6 + 2 + \frac{- 11}{e}$

Étape 12.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 + 2 - \frac{11}{e}$

Étape 12.5

Additionnez

$6$ et

$2$ .

$8 - \frac{11}{e}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$8 - \frac{11}{e}$

Forme décimale :

$3.95332614 \dots$

Étape 14