Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} x \ln (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{x} d x)$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{x}{1} d x)$

Étape 4.2.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x d x)$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \frac{1}{2} \int_{1}^{2} x d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Évaluez $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $1$ .

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$

Étape 6.2

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $2$ et sur $1$ .

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 6.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\ln (2) \cdot 4}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 6.3.2

Déplacez $4$ à gauche de $\ln (2)$ .

$\frac{4 \cdot \ln (2)}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 6.3.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \ln (2)$ .

$\frac{2 (2 \ln (2))}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 6.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 \ln (2))}{2 (1)} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 6.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 \ln (2))}{2 \cdot 1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 6.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \ln (2)}{1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 6.3.3.2.4

Divisez $2 \ln (2)$ par $1$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 6.3.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1) \cdot 1}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 6.3.5

Multipliez $\ln (1)$ par $1$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 6.3.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 6.3.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 6.3.8

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.8.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 6.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 6.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 6.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 6.3.8.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 6.3.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Étape 6.3.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2})$

Étape 6.3.11

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 6.3.12

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 6.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 6.3.14

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.14.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4 - 1}{2}$

Étape 6.3.14.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Étape 6.3.15

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{3}{2 \cdot 2}$

Étape 6.3.16

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \ln (2) - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{3}{4}$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$2 \ln (2) - \frac{0}{2} - \frac{3}{4}$

Étape 7.1.2

Divisez $0$ par $2$ .

$2 \ln (2) - 0 - \frac{3}{4}$

Étape 7.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 \ln (2) + 0 - \frac{3}{4}$

Étape 7.2

Additionnez $2 \ln (2)$ et $0$ .

$2 \ln (2) - \frac{3}{4}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 \ln (2) - \frac{3}{4}$

Forme décimale :

$0.63629436 \dots$