Calcul infinitésimal Exemples

$4 \sqrt{x} - \frac{5}{x^{2}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \sqrt{x} - \frac{5}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Étape 2.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Étape 2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Étape 2.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Étape 2.10

Associez $4$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Étape 2.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Étape 2.12

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Étape 2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Étape 2.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Étape 2.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Étape 3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- 2 x^{- 3})$

Étape 3.10

Multipliez $- 2$ par $- 5$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{- 3}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 10 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 4.2

Associez $10$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{10}{x^{3}}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{10}{x^{3}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$