Calcul infinitésimal Exemples

y = \frac{9 \sqrt{x}}{x}

$y = \frac{9 \sqrt{x}}{x}$

Étape 1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ comme

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{x}]

$\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Étape 2

Placez

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif

b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}

$b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

\frac{d}{d x} [\frac{9}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}]

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}]$

Étape 3

Multipliez

x

$x$ par

x^{- \frac{1}{2}}

$x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Multipliez

x

$x$ par

x^{- \frac{1}{2}}

$x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.1.1

Élevez

x

$x$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}]

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}]$

Étape 3.1.2

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{1 - \frac{1}{2}}}]

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{1 - \frac{1}{2}}}]$

\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{1 - \frac{1}{2}}}]

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{1 - \frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2

Écrivez

1

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}]

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}]$

Étape 3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{\frac{2 - 1}{2}}}]

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{\frac{2 - 1}{2}}}]$

Étape 3.4

Soustrayez

1

$1$ de

2

$2$ .

\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}]

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}]$

\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}]

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4

Comme

9

$9$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à

x

$x$ est

9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Réécrivez

\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme

{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

9 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]

$9 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans

{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 5.2.2

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

- 1

$- 1$ .

9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

9 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]

$9 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

9 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]

$9 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

9 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]

$9 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = - \frac{1}{2}

$n = - \frac{1}{2}$ .

9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Étape 7

Pour écrire

- 1

$- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 8

Associez

- 1

$- 1$ et

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})

$9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

2

$2$ .

9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})

$9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Étape 10.2

Soustrayez

2

$2$ de

- 1

$- 1$ .

9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})

$9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})

$9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})

$9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Étape 12

Associez

x^{- \frac{3}{2}}

$x^{- \frac{3}{2}}$ et

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

9 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})

$9 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Étape 13

Multipliez

- 1

$- 1$ par

9

$9$ .

- 9 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}

$- 9 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Étape 14

Associez

- 9

$- 9$ et

\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}

$\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

\frac{- 9 x^{- \frac{3}{2}}}{2}

$\frac{- 9 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Étape 15

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.1

Placez

x^{- \frac{3}{2}}

$x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

\frac{- 9}{2 x^{\frac{3}{2}}}

$\frac{- 9}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 15.2

Placez le signe moins devant la fraction.

- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}}

$- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}}

$- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}}$