Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (1 + x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + x$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x$ .

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + x} \cdot 1$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.1

Multipliez $\frac{1}{1 + x}$ par $1$ .

$\frac{1}{1 + x}$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{x + 1}$