Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 0.8 x^{3} - 4 x^{2} - 1$ , $[- 30, 4]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $0.8 x^{3} - 4 x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [0.8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [0.8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [0.8 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $0.8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $0.8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0.8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0.8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $3$ par $0.8$ .

$2.4 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2.4 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2.4 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$2.4 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2.4 x^{2} - 8 x + 0$

Étape 1.1.1.4.2

Additionnez $2.4 x^{2} - 8 x$ et $0$ .

$f' (x) = 2.4 x^{2} - 8 x$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2.4 x^{2} - 8 x$ .

$2.4 x^{2} - 8 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2.4 x^{2} - 8 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2.4 x^{2} - 8 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $0.8 x$ à partir de $2.4 x^{2} - 8 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $0.8 x$ à partir de $2.4 x^{2}$ .

$0.8 x (3 x) - 8 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $0.8 x$ à partir de $- 8 x$ .

$0.8 x (3 x) + 0.8 x (- 10) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $0.8 x$ à partir de $0.8 x (3 x) + 0.8 x (- 10)$ .

$0.8 x (3 x - 10) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$3 x - 10 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $3 x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $3 x - 10$ égal à $0$ .

$3 x - 10 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $3 x - 10 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 10$

Étape 1.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 10$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 10$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Étape 1.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Étape 1.2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{10}{3}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $0.8 x (3 x - 10) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{10}{3}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $0.8 x^{3} - 4 x^{2} - 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$0.8 {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} - 1$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0.8 \cdot 0 - 4 {(0)}^{2} - 1$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $0.8$ par $0$ .

$0 - 4 {(0)}^{2} - 1$

Étape 1.4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 4 \cdot 0 - 1$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$0 + 0 - 1$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 1$

Étape 1.4.1.2.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = \frac{10}{3}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{10}{3}$ .

$0.8 {(\frac{10}{3})}^{3} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{10}{3}$ .

$0.8 \frac{10^{3}}{3^{3}} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$0.8 \frac{1000}{3^{3}} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

Étape 1.4.2.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$0.8 (\frac{1000}{27}) - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

Étape 1.4.2.2.1.4

Multipliez $0.8 (\frac{1000}{27})$ .

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Étape 1.4.2.2.1.4.1

Associez $0.8$ et $\frac{1000}{27}$ .

$\frac{0.8 \cdot 1000}{27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

Étape 1.4.2.2.1.4.2

Multipliez $0.8$ par $1000$ .

$\frac{800}{27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

Étape 1.4.2.2.1.5

Annulez le facteur commun à $800$ et $27$ .

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Étape 1.4.2.2.1.5.1

Réécrivez $800$ comme $1 (800)$ .

$\frac{1 (800)}{27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

Étape 1.4.2.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.1.5.2.1

Réécrivez $27$ comme $1 (27)$ .

$\frac{1 \cdot 800}{1 \cdot 27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

Étape 1.4.2.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 \cdot 800}{1 \cdot 27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

Étape 1.4.2.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{800}{27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

Étape 1.4.2.2.1.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{10}{3}$ .

$\frac{800}{27} - 4 \frac{10^{2}}{3^{2}} - 1$

Étape 1.4.2.2.1.7

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$\frac{800}{27} - 4 \frac{100}{3^{2}} - 1$

Étape 1.4.2.2.1.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{800}{27} - 4 (\frac{100}{9}) - 1$

Étape 1.4.2.2.1.9

Multipliez $- 4 (\frac{100}{9})$ .

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Étape 1.4.2.2.1.9.1

Associez $- 4$ et $\frac{100}{9}$ .

$\frac{800}{27} + \frac{- 4 \cdot 100}{9} - 1$

Étape 1.4.2.2.1.9.2

Multipliez $- 4$ par $100$ .

$\frac{800}{27} + \frac{- 400}{9} - 1$

Étape 1.4.2.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{800}{27} - \frac{400}{9} - 1$

Étape 1.4.2.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Multipliez $\frac{400}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{800}{27} - (\frac{400}{9} \cdot \frac{3}{3}) - 1$

Étape 1.4.2.2.2.2

Multipliez $\frac{400}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{9 \cdot 3} - 1$

Étape 1.4.2.2.2.3

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 1}{1}$

Étape 1.4.2.2.2.4

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 1.4.2.2.2.5

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.2.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.2.2.2.7

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{27} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{800 - 400 \cdot 3 - 1 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.4.1

Multipliez $- 400$ par $3$ .

$\frac{800 - 1200 - 1 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$\frac{800 - 1200 - 27}{27}$

Étape 1.4.2.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.2.2.5.1

Soustrayez $1200$ de $800$ .

$\frac{- 400 - 27}{27}$

Étape 1.4.2.2.5.2

Soustrayez $27$ de $- 400$ .

$\frac{- 427}{27}$

Étape 1.4.2.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{427}{27}$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0, - 1), (\frac{10}{3}, - \frac{427}{27})$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 30$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 30$ .

$0.8 {(- 30)}^{3} - 4 {(- 30)}^{2} - 1$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Élevez $- 30$ à la puissance $3$ .

$0.8 \cdot - 27000 - 4 {(- 30)}^{2} - 1$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $0.8$ par $- 27000$ .

$- 21600 - 4 {(- 30)}^{2} - 1$

Étape 2.1.2.1.3

Élevez $- 30$ à la puissance $2$ .

$- 21600 - 4 \cdot 900 - 1$

Étape 2.1.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $900$ .

$- 21600 - 3600 - 1$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.1.2.2.1

Soustrayez $3600$ de $- 21600$ .

$- 25200 - 1$

Étape 2.1.2.2.2

Soustrayez $1$ de $- 25200$ .

$- 25201$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$0.8 {(4)}^{3} - 4 {(4)}^{2} - 1$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$0.8 \cdot 64 - 4 {(4)}^{2} - 1$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $0.8$ par $64$ .

$51.2 - 4 {(4)}^{2} - 1$

Étape 2.2.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$51.2 - 4 \cdot 16 - 1$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$51.2 - 64 - 1$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.2.2.2.1

Soustrayez $64$ de $51.2$ .

$- 12.8 - 1$

Étape 2.2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $- 12.8$ .

$- 13.8$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 30, - 25201), (4, - 13.8)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(0, - 1)$

Minimum absolu : $(- 30, - 25201)$

Étape 4