Calcul infinitésimal Exemples

\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x

$\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x$

Étape 1

Laissez

u = 8 x

$u = 8 x$ . Alors

d u = 8 d x

$d u = 8 d x$ , donc

\frac{1}{8} d u = d x

$\frac{1}{8} d u = d x$ . Réécrivez avec

u

$u$ et

d

$d$

u

$u$ .

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Étape 1.1

Laissez

u = 8 x

$u = 8 x$ . Déterminez

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez

8 x

$8 x$ .

\frac{d}{d x} [8 x]

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Étape 1.1.2

Comme

8

$8$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

8 x

$8 x$ par rapport à

x

$x$ est

8 \frac{d}{d x} [x]

$8 \frac{d}{d x} [x]$ .

8 \frac{d}{d x} [x]

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

8 \cdot 1

$8 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez

8

$8$ par

1

$1$ .

8

$8$

8

$8$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour

x

$x$ dans

u = 8 x

$u = 8 x$ .

u_{lower} = 8 \cdot 0

$u_{lower} = 8 \cdot 0$

Étape 1.3

Multipliez

8

$8$ par

0

$0$ .

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour

x

$x$ dans

u = 8 x

$u = 8 x$ .

u_{upper} = 8 \cdot 8

$u_{upper} = 8 \cdot 8$

Étape 1.5

Multipliez

8

$8$ par

8

$8$ .

u_{upper} = 64

$u_{upper} = 64$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour

u_{lower}

$u_{lower}$ et

u_{upper}

$u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = 64

$u_{upper} = 64$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant

u

$u$ ,

d u

$d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u

$\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u

$\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Étape 2

Associez

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ et

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ .

\int_{0}^{64} \frac{\sqrt{u}}{8} d u

$\int_{0}^{64} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Étape 3

Comme

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ est constant par rapport à

u

$u$ , placez

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

\frac{1}{8} \int_{0}^{64} \sqrt{u} d u

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} \sqrt{u} d u$

Étape 4

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ comme

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{1}{8} \int_{0}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à

u

$u$ est

\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez

\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur

64

$64$ et sur

0

$0$ .

\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Réécrivez

64

$64$ comme

8^{2}

$8^{2}$ .

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.4

Élevez

8

$8$ à la puissance

3

$3$ .

\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 512 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 512 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.5

Associez

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ et

512

$512$ .

\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.6

Multipliez

2

$2$ par

512

$512$ .

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.7

Réécrivez

0

$0$ comme

0^{2}

$0^{2}$ .

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.8

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 6.2.9

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 6.2.9.1

Annulez le facteur commun.

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 6.2.9.2

Réécrivez l’expression.

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 6.2.10

L’élévation de

0

$0$ à toute puissance positive produit

0

$0$ .

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Étape 6.2.11

Multipliez

0

$0$ par

- 1

$- 1$ .

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0 (\frac{2}{3}))

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

Étape 6.2.12

Multipliez

0

$0$ par

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ .

\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0)

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0)$

Étape 6.2.13

Additionnez

\frac{1024}{3}

$\frac{1024}{3}$ et

0

$0$ .

\frac{1}{8} \cdot \frac{1024}{3}

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1024}{3}$

Étape 6.2.14

Multipliez

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ par

\frac{1024}{3}

$\frac{1024}{3}$ .

\frac{1024}{8 \cdot 3}

$\frac{1024}{8 \cdot 3}$

Étape 6.2.15

Multipliez

8

$8$ par

3

$3$ .

\frac{1024}{24}

$\frac{1024}{24}$

Étape 6.2.16

Annulez le facteur commun à

1024

$1024$ et

24

$24$ .

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Étape 6.2.16.1

Factorisez

8

$8$ à partir de

1024

$1024$ .

\frac{8 (128)}{24}

$\frac{8 (128)}{24}$

Étape 6.2.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.16.2.1

Factorisez

8

$8$ à partir de

24

$24$ .

\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

Étape 6.2.16.2.2

Annulez le facteur commun.

\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

Étape 6.2.16.2.3

Réécrivez l’expression.

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

\frac{128}{3}

$\frac{128}{3}$

Forme décimale :

42.\overline{6}

$42.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

42 \frac{2}{3}

$42 \frac{2}{3}$

Étape 8