Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x$

Étape 1

Laissez $u = 8 x$ . Alors $d u = 8 d x$ , donc $\frac{1}{8} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 8 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Étape 1.1.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$8$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 8 x$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 0$

Étape 1.3

Multipliez $8$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 8 x$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 8$

Étape 1.5

Multipliez $8$ par $8$ .

$u_{upper} = 64$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 64$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Étape 2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{8}$ .

$\int_{0}^{64} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} \sqrt{u} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $64$ et sur $0$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.4

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 512 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.5

Associez $\frac{2}{3}$ et $512$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.6

Multipliez $2$ par $512$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.7

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.8

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 6.2.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 6.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 6.2.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Étape 6.2.11

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

Étape 6.2.12

Multipliez $0$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0)$

Étape 6.2.13

Additionnez $\frac{1024}{3}$ et $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1024}{3}$

Étape 6.2.14

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{1024}{3}$ .

$\frac{1024}{8 \cdot 3}$

Étape 6.2.15

Multipliez $8$ par $3$ .

$\frac{1024}{24}$

Étape 6.2.16

Annulez le facteur commun à $1024$ et $24$ .

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Étape 6.2.16.1

Factorisez $8$ à partir de $1024$ .

$\frac{8 (128)}{24}$

Étape 6.2.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.16.2.1

Factorisez $8$ à partir de $24$ .

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

Étape 6.2.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

Étape 6.2.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{128}{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{128}{3}$

Forme décimale :

$42.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$42 \frac{2}{3}$

Étape 8