Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$ comme $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{2 u} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + C$