Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{\sin (x)}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\sin (x)}$ comme ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {\sin (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 7.3

Placez ${\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 8

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \cos (x)$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Séparez les fractions.

$\frac{\cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2

Convertissez de $\frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ à ${\csc (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x)}{2} {\csc (x)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 10.3

Associez $\frac{\cos (x)}{2}$ et ${\csc (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x) {\csc (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 10.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\cos (x) {\csc (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{{\csc (x)}^{\frac{1}{2}} \cos (x)}{2}$