Calcul infinitésimal Exemples

$y = x {(x - 4)}^{3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 4$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 4$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1$

Étape 3.6

Multipliez ${(x - 4)}^{3}$ par $1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Factorisez ${(x - 4)}^{2}$ à partir de $x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez ${(x - 4)}^{2}$ à partir de $x (3 {(x - 4)}^{2})$ .

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{3}$

Étape 4.1.2

Factorisez ${(x - 4)}^{2}$ à partir de ${(x - 4)}^{3}$ .

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

Étape 4.1.3

Factorisez ${(x - 4)}^{2}$ à partir de ${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ .

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3) + x - 4)$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

${(x - 4)}^{2} (3 \cdot x + x - 4)$

Étape 4.2.2

Additionnez $3 x$ et $x$ .

${(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Étape 4.3

Réécrivez ${(x - 4)}^{2}$ comme $(x - 4) (x - 4)$ .

$(x - 4) (x - 4) (4 x - 4)$

Étape 4.4

Développez $(x - 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Étape 4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Étape 4.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Étape 4.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Étape 4.5.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$(x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Étape 4.5.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$(x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

Étape 4.5.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

Étape 4.6

Développez $(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 4.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.7.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 4.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.7.2.1

Déplacez $x$ .

$4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 4.7.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.7.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 4.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 4.7.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 4.7.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 4.7.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x \cdot x - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 4.7.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.7.5.1

Déplacez $x$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 (x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 4.7.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 4.7.6

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 4.7.7

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Étape 4.7.8

Multipliez $4$ par $16$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x + 16 \cdot - 4$

Étape 4.7.9

Multipliez $16$ par $- 4$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

Étape 4.8

Soustrayez $32 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

Étape 4.9

Additionnez $32 x$ et $64 x$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$