Calcul infinitésimal Exemples

\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où

$f (x) = x^{2}$ et

$g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 2.2

Déplacez

$2$ à gauche de

$x^{2} + 3$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de

$x^{2} + 3$ par rapport à

$x$ est

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme

$3$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$3$ par rapport à

$x$ est

$0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez

$2 x$ et

$0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Multipliez

$2$ par

$- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 3

Élevez

$x$ à la puissance

$1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 4

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5

Additionnez

$1$ et

$2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Multipliez

$x^{2}$ par

$x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.1.1

Déplacez

$x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.1.2

Multipliez

$x$ par

$x^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1.2.1

Élevez

$x$ à la puissance

$1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.1.3

Additionnez

$1$ et

$2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.2

Multipliez

$2$ par

$3$ .

$\frac{2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.2

Associez les termes opposés dans

$2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}$ .

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Étape 6.3.2.1

Soustrayez

$2 x^{3}$ de

$2 x^{3}$ .

$\frac{6 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.2.2

Additionnez

$6 x$ et

$0$ .

$\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$