Calcul infinitésimal Exemples

$\int 8 x^{2} \ln (x) d x$

Étape 1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int x^{2} \ln (x) d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x^{2}$ .

$8 (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$8 (\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Étape 3.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{3}}{3}$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{x^{3}}{3}$ par $\frac{1}{x}$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3 x} d x)$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x)$

Étape 3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Étape 3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Étape 3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{2}}{3} d x)$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x))$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C))$

Étape 6.2

Réécrivez $8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C))$ comme $8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) + C$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) + C$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 (\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3}) + C$