Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 1$ , $[- 3, 4]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 3 x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Étape 1.1.1.3.2

Additionnez $3 x^{2} - 6 x$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 6 x$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 6 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 6 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2} - 6 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 6 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x) + 3 x (- 2)$ .

$3 x (x - 2) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{3} - 3 x^{2} - 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 1$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 3 {(0)}^{2} - 1$

Étape 1.4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 3 \cdot 0 - 1$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$0 + 0 - 1$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 1$

Étape 1.4.1.2.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} - 1$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - 3 {(2)}^{2} - 1$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 - 3 \cdot 4 - 1$

Étape 1.4.2.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$8 - 12 - 1$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Soustrayez $12$ de $8$ .

$- 4 - 1$

Étape 1.4.2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$- 5$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0, - 1), (2, - 5)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 3$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

${(- 3)}^{3} - 3 {(- 3)}^{2} - 1$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$- 27 - 3 {(- 3)}^{2} - 1$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $- 3$ par ${(- 3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par ${(- 3)}^{2}$ .

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Étape 2.1.2.1.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $1$ .

$- 27 + {(- 3)}^{1} {(- 3)}^{2} - 1$

Étape 2.1.2.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 27 + {(- 3)}^{1 + 2} - 1$

Étape 2.1.2.1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 27 + {(- 3)}^{3} - 1$

Étape 2.1.2.1.3

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$- 27 - 27 - 1$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.1.2.2.1

Soustrayez $27$ de $- 27$ .

$- 54 - 1$

Étape 2.1.2.2.2

Soustrayez $1$ de $- 54$ .

$- 55$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

${(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} - 1$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$64 - 3 {(4)}^{2} - 1$

Étape 2.2.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$64 - 3 \cdot 16 - 1$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $16$ .

$64 - 48 - 1$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.2.2.2.1

Soustrayez $48$ de $64$ .

$16 - 1$

Étape 2.2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $16$ .

$15$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 3, - 55), (4, 15)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(4, 15)$

Minimum absolu : $(- 3, - 55)$

Étape 4