Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int \ln (x) x^{- 2} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x^{- 2}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $\ln (x)$ et $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x$

Étape 3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x$

Étape 3.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Étape 3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Étape 3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{\ln (x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5.1.2

Multipliez $\int \frac{1}{x^{2}} d x$ par $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 5.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{- 2} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C$

Étape 7

Réécrivez $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C$ comme $- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$