Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 - x^{2}$ . Alors $d u = - 2 x d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = 1 - x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x$

Étape 1.1.4

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Étape 2.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 5.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 5.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Réécrivez $- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7.2.3.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$- {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$