Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3} = 8$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (8)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2} y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} y'$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) + 3 y^{2} y'$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 y x + 3 y^{2} y'$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y'$

Étape 3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Étape 5.1.2

Soustrayez $6 x y$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

Étape 5.2

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 x^{2} y' + 3 y^{2} y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 x^{2} y'$ .

$3 y' x^{2} + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

Étape 5.2.2

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' x^{2} + 3 y' y^{2} = - 3 x^{2} - 6 x y$

Étape 5.2.3

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y' x^{2} + 3 y' y^{2}$ .

$3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ par $3 (x^{2} + y^{2})$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ par $3 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $3$ .

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Étape 5.3.3.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x y$ .

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Étape 5.3.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- x^{2} - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} - 2 x y$ .

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Étape 5.3.3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- x) - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5.3.3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x y$ .

$y' = \frac{x (- x) + x (- 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5.3.3.2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- x) + x (- 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- x - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y' = \frac{x (- (x) - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5.3.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y$ .

$y' = \frac{x (- (x) - (2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5.3.3.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{x (- (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5.3.3.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.2.6.1

Réécrivez $- (x + 2 y)$ comme $- 1 (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5.3.3.2.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$