Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{4}^{9} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Étape 1

Réécrivez $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ comme un produit.

$\int_{4}^{9} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (y)$ et $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $2$ et $\frac{1}{y}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y$

Étape 3.2

Associez $y^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{y}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y$

Étape 3.3

Déplacez $2$ à gauche de $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y$

Étape 3.4

Placez $y^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Étape 3.5

Multipliez $y$ par $y^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.1

Multipliez $y$ par $y^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.5.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Étape 3.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y$

Étape 3.5.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

Étape 3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y$

Étape 3.5.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - (2 \int_{4}^{9} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Étape 5.2

Retirez $y^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Étape 5.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} y^{- \frac{1}{2}} d y$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ sur $9$ et sur $4$ .

$(\ln (9) (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

Étape 7.2

Évaluez $2 y^{\frac{1}{2}}$ sur $9$ et sur $4$ .

$(\ln (9) (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\ln (9) (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (9) (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (9) (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (9) (2 \cdot 3^{1}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3.4

Évaluez l’exposant.

$\ln (9) (2 \cdot 3) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$\ln (9) \cdot 6 - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3.6

Déplacez $6$ à gauche de $\ln (9)$ .

$6 \cdot \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3.8

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.9.1

Annulez le facteur commun.

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3.9.2

Réécrivez l’expression.

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2^{1}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3.10

Évaluez l’exposant.

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3.11

Multipliez $2$ par $2$ .

$6 \ln (9) - \ln (4) \cdot 4 - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3.12

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3.13

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3.14

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.15.1

Annulez le facteur commun.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3.15.2

Réécrivez l’expression.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3.16

Évaluez l’exposant.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3.17

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3.18

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.3.19

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Étape 7.3.20

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.20.1

Annulez le facteur commun.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Étape 7.3.20.2

Réécrivez l’expression.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2^{1})$

Étape 7.3.21

Évaluez l’exposant.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2)$

Étape 7.3.22

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 4)$

Étape 7.3.23

Soustrayez $4$ de $6$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 \cdot 2$

Étape 7.3.24

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 4$

Étape 8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1

Réécrivez $\ln (4)$ comme $\ln (2^{2})$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (2^{2}) - 4$

Étape 8.2

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$6 \ln (9) - 4 (2 \ln (2)) - 4$

Étape 8.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$6 \ln (9) - 8 \ln (2) - 4$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$6 \ln (9) - 8 \ln (2) - 4$

Forme décimale :

$3.63817001 \dots$