Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{27} \sqrt{3 x} d x$

Étape 1

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Étape 1.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 27$

Étape 1.5

Multipliez $3$ par $27$ .

$u_{upper} = 81$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 81$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{81} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{81} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{81} \sqrt{u} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{0}^{81} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{81}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $81$ et sur $0$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 81^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(9^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.4

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 729 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.5

Associez $\frac{2}{3}$ et $729$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 729}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.6

Multipliez $2$ par $729$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1458}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.7

Annulez le facteur commun à $1458$ et $3$ .

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Étape 6.2.7.1

Factorisez $3$ à partir de $1458$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (\frac{486}{1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.7.2.4

Divisez $486$ par $1$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.8

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.9

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 6.2.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 6.2.10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 6.2.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Étape 6.2.12

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} (486 + 0 (\frac{2}{3}))$

Étape 6.2.13

Multipliez $0$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (486 + 0)$

Étape 6.2.14

Additionnez $486$ et $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 486$

Étape 6.2.15

Associez $\frac{1}{3}$ et $486$ .

$\frac{486}{3}$

Étape 6.2.16

Annulez le facteur commun à $486$ et $3$ .

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Étape 6.2.16.1

Factorisez $3$ à partir de $486$ .

$\frac{3 \cdot 162}{3}$

Étape 6.2.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.16.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 162}{3 (1)}$

Étape 6.2.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 162}{3 \cdot 1}$

Étape 6.2.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{162}{1}$

Étape 6.2.16.2.4

Divisez $162$ par $1$ .

$162$

Étape 7